## Introduction

Statistics is the terror of many teenagers since it is taught without context or situations that are not related to theirs daily life nor the life they are dreaming to achieve. As a consequence, statistics became a subject that only evaluates the ability to make systematic calculations.

## A possible solution

In order to present statistics as a powerful tool for decision-making, it is necessary to define practical situations, like sports, artists, or even politics. Using an example of a factory filling jars is quite boring and makes statistics look like something that is only for work. On the other hand, not everything can be funny or interesting, but you can make it necessary. For example, a student’s dream job can be in the filling jars “boring” factory working with robots that need maintenance, so calculating the probability of a failure related to time or use becomes fundamental.

## Use software

Hand calculation is essential to develop cognitive abilities, however, they will hardly beat a computer in velocity or precision. It is wise to also teach how to use specialized software as Excel or Python focused on data science. This way, your students will be able to really use statistics and focus on understanding the meaning of the measures, as central tendency and variation.

## Conclusion 

It doesn’t maters If you are a teacher, professor, or student, statistics is beautiful when you truly understand it.

Do you agree or disagree with me? please let me know


A dichotomy (contradiction 😉) in statistics students

Who I am

Hi, my name is Arno Sonck, I am from México and right now I am learning to code in Python to used on data science.

My dream is to work in a laboratory doing research on AI and robotics. My profesional experience is related to mechanical design and manufacturing while my academic studies ara related to no-linear control focused on observer design.

At the present I am a teacher of physics, statistics and computation so, feel free to ask any related question, I may not have the answer but I can find it.



Let me know about you

Who We Are


First of all, the following lines are just my opinion, so they are very likely to be biased by some kind of romanticism. Even though, I’ll do my best to be objective.

What is the **core of art**? To me, the core is the artists, the way they find and transmit related ideas is what made an artist. It doesn’t maters if the message is transmitted by a painting, by a poem, or even by a movie. They are in constant need of living different experiences so their vision of the world gets wider. In that sense, they are like scientists, both, **artists and scientists**, are in a constant **journey of knowledge**, experimenting with the world and sharing their findings. An artist can be a scientist when figuring out how to say something and a scientist can be an artist when creating a theory or an experiment.

So, is there any **breach** at all **between an Artist and a scientist**? I think there is but, at the same time, there isn’t. Once a piece of knowledge is consolidated, it is supposed to be repeatable, the same procedure must lead to the same results. The ideal treatment for any sickness should lead to a healthy state. This means that creativity is supposed to be less needed. The reality is that, while some areas are full of very defined rules and procedures that lead to very knows results, there are many others that aren’t. Medicine is one of these gray areas. To diagnose, there should be a standard procedure, this doesn’t mean that the diagnose is right 100% of the time.

To end with, I would like to point out that science also reaches an end each time a piece of knowledge is consolidated. So, at least to me, art and science are together in the same journey of discovery and sharing. 

Now it is your turn, tell me, what is art to you? what is science to you? is there only one way to understand the world around us?



Art and Science

## Introduction

Congratulations, you have been accepted in that first postgraduate degree that you wanted so much and for which you studied like never before in your life, now all the glamor  have passed away and you are working with a real researcher on a subject of the most interesting and challenging. It is likely that you did not have much influence on that first research topic but as you progress you will want to satisfy your own curiosity, but, where do you start from?

## Web of Science

Thousands of scientific articles are published every day that may be of your interests. However, it is not feasible that you can read all of them. Fortunately, there are tools that allow you to select the ones that could help you the most in your research. The main one is Web of Science, which allows you to select articles by topic, number of citations, impact factor and, even by country. The recommendation is to select the articles with the highest citations and impact factor, unless the topic is very close to yours.

## Start reading

Before you start deep reading each article you selected, do a brief read, just focus on the hypotheses and the results, remember to take notes about what each article is about and keep the references. My recommendation is to make worksheets since you can use them for future research and they will save you a lot of problems when you are writing your thesis or an article.

## Extra tip

I strongly recomendo you to use a bibliography manager, like Mendeley, or at least a keep updated a .bib file (in case you use LaTeX as a word processor). These managers will also help you a lot when it comes to sharing your discoveries in the form of articles or even books.

I would like to have known these tips when I started the master's degree. They are not written in stone, so, if you can complement them, add others, or even refute them, I invite you to do so in the comments and even write to me to put them in future publications.


How to start being a proactive scientist and research on your own?

All Posts By Arno Sonck

Arno Sonck

All Posts By Dianne Ameter

Dianne Ameter

All Posts By Gordon Norman

Gordon Norman

All Posts By Miles Tone

Miles Tone

All Posts In Clustering

Clustering

Todos los post en Español

Español

All Posts In General

General

All Posts In News

News

All Posts In Observers

Observers

All Posts In Python

Python

All Posts In Robotics

Robotics

All Posts In Statistics

Statistics

All Posts In Tutorials

Tutorials

Blog


While controlling a system, such as a bioreactor or an electric motor, it is common to need the measures of different parameters, such as the concentration of a product or the current of the stator. Sometimes these parameters are not available, usually for the lack of measure instruments or the instruments are very expensive. Fortunately, there are systems whose parameters can be known by measuring others parameters.

The algorithm that can stimate unmeasurable parameters is called an observer. Observers study is a branch of automatic control theory and there are many methodologies. Here I will only talk about the main idea of observers.

## Luenberger observer

It was proposed by [David G. Luenberger](https://en.wikipedia.org/wiki/David_Luenberger), a mathematical scientist and professor in the department of Management Science and Engineering at Stanford University. The main idea of this algorithm is to make a mathematical copy of the original system, so we know all their parameters all the time. These parameters are different from the original system, so we need a parameter of correction, this parameter depends on the parameters that can be measured from the original system.

Its main advantage is that it is simple but, its main disadvantage is that it needs a copy of the original system, that's mean, to perfectly know your original system. A small change can lead to different results. Fortunately, this is a widely used methodology so there are a lot of variants that can handle many issues.

## An apologise for control engineers

This article was meant for people that don’t know about control theory so I named the state as parameters to try to make it more understandable. If you know another way to explain this without changing concepts names please let me know.



Have you ever wanted to know somethig that can not be measure? Use an observer.

Este post es una traducción del siguiente [artículo](https://towardsdatascience.com/the-5-clustering-algorithms-data-scientists-need-to-know-a36d136ef68).
Los nombres de los algoritmos los manejaré en inglés.
Todos los creditos van a su creador George Seif.

La agrupación en clústeres es una técnica de aprendizaje automático que implica la agrupación de puntos de datos. Dado un conjunto de puntos de datos, podemos usar un algoritmo de agrupamiento para clasificar cada punto de datos en un grupo específico. En teoría, los puntos de datos que están en el mismo grupo deberían tener propiedades o características similares, mientras que los puntos de datos en diferentes grupos deberían tener propiedades o características muy diferentes. La agrupación en clústeres es un método de aprendizaje no supervisado y es una técnica común para el análisis de datos estadísticos que se utiliza en muchos campos.

En Ciencia de datos (Data Science), podemos usar el análisis de agrupamiento para obtener información valiosa de nuestros datos al ver en qué grupos se encuentran los puntos de datos cuando aplicamos un algoritmo de agrupamiento. Hoy, veremos 5 algoritmos de agrupación en clústeres populares que los científicos de datos deben conocer y sus pros y contras.

## K-means Clustering (k-medias)

K-Means es probablemente el algoritmo de agrupación en clústeres más conocido. Se enseña en muchas clases de introducción a la ciencia de datos y al aprendizaje automático. ¡Es fácil de entender e implementar en código! Consulte el gráfico a continuación para ver una ilustración.

![](https://miro.medium.com/max/480/1\*KrcZK0xYgTa4qFrVr0fO2w.gif)

1.  Para comenzar, primero seleccionamos una cantidad de clases o grupos para usar e inicializamos aleatoriamente sus respectivos puntos centrales. Para calcular la cantidad de clases que se deben usar, es bueno echar un vistazo rápido a los datos e intentar identificar cualquier agrupación distinta. Los puntos centrales son vectores de la misma longitud que cada punto vector de datos y son las "X" en el gráfico de arriba.

2.  Cada punto de datos se clasifica calculando la distancia entre ese punto y el centro de cada grupo, y luego clasificando el punto para que esté en el grupo cuyo centro está más cerca de él.

3.  Con base en estos puntos clasificados, recalculamos el centro del grupo tomando la media de todos los vectores del grupo.

4.  Repita estos pasos para un número determinado de iteraciones o hasta que los centros del grupo no cambien mucho entre iteraciones. También puede optar por inicializar aleatoriamente los centros de grupo varias veces y luego seleccionar la ejecución que parece que proporcionó los mejores resultados.

K-Means tiene la ventaja de que es bastante rápido, ya que todo lo que realmente estamos haciendo es calcular las distancias entre los puntos y los centros de los grupos (¡muy pocos cálculos!) Por tanto, tiene una complejidad lineal *O*(*n*).

Por otro lado, K-Means tiene un par de desventajas. En primer lugar, debes seleccionar cuántos grupos o clases hay. Esto no siempre es trivial e, idealmente, con un algoritmo de agrupación en clústeres, querríamos que lo averiguara por nosotros porque el objetivo es obtener algo de información a partir de los datos. K-means también comienza con una elección aleatoria de centros de conglomerados y, por lo tanto, puede producir diferentes resultados de conglomerados en diferentes ejecuciones del algoritmo. Por lo tanto, es posible que los resultados no sean repetibles y carezcan de consistencia. Otros métodos de agrupación son más consistentes.

K-Medians (*Medians se refiere a la mediana de un conjunto de datos*) es otro algoritmo de agrupamiento relacionado con K-Means, excepto que en lugar de volver a calcular los puntos centrales del grupo usando la media, usamos el vector median del grupo. Este método es menos sensible a los valores atípicos (debido al uso de la mediana), pero es mucho más lento para conjuntos de datos más grandes, ya que se requiere ordenar en cada iteración al calcular el vector de la mediana.

## Mean-Shift Clustering

Mean-Shift Clustering es un algoritmo basado en ventanas deslizantes (*Los algoritmos basados en ventanas son una forma de simplificar el código ya que se crea una ventana que se deslizara sobre una porcion de los datos*) que intenta encontrar áreas densas de puntos de datos. Es un algoritmo basado en centroide, lo que significa que el objetivo es ubicar los puntos centrales de cada grupo o clase, que funciona actualizando candidatos para puntos centrales para que sean la media de los puntos dentro de la ventana deslizante. Estas ventanas candidatas luego se filtran en una etapa de posprocesamiento para eliminar duplicados (o ventanas muy parecidas), formando el conjunto final de puntos centrales y sus grupos correspondientes. Consulte el gráfico a continuación para ver una ilustración.

![](https://miro.medium.com/max/324/1\*bkFlVrrm4HACGfUzeBnErw.gif)

1.  Para explicar el mean-shift, consideraremos un conjunto de puntos en un espacio bidimensional como la ilustración anterior. Comenzamos con una ventana deslizante circular centrada en un punto C (seleccionado al azar) y que tiene un radio r como núcleo. El mean-shift es un algoritmo de escalada que implica cambiar este núcleo de forma iterativa a una región de mayor densidad en cada paso hasta que converja.
2.  En cada iteración, la ventana deslizante se desplaza hacia regiones de mayor densidad cambiando el punto central a la media de los puntos dentro de la ventana (de ahí el nombre). La densidad dentro de la ventana deslizante es proporcional al número de puntos dentro de ella. Naturalmente, al cambiar a la media de los puntos en la ventana, se moverá gradualmente hacia áreas de mayor densidad de puntos.
3.  Continuamos desplazando la ventana deslizante de acuerdo con la media hasta que no haya una dirección en la que un desplazamiento pueda acomodar más puntos dentro del kernel. Mira el gráfico de arriba; seguimos moviendo el círculo hasta que ya no estemos aumentando la densidad (es decir, el número de puntos en la ventana).
4.  Este proceso de los pasos 1 a 3 se realiza con muchas ventanas deslizantes hasta que todos los puntos se encuentran dentro de una ventana. Cuando varias ventanas deslizantes se superponen, se conserva la ventana que contiene la mayoría de los puntos. Luego, los puntos de datos se agrupan de acuerdo con la ventana deslizante en la que residen.

A continuación se muestra una ilustración de todo el proceso de un extremo a otro con todas las ventanas deslizantes. Cada punto negro representa el centroide de una ventana deslizante y cada punto gris es un punto de datos.

![](https://miro.medium.com/max/432/1\*vyz94J\_76dsVToaa4VG1Zg.gif)

A diferencia de la agrupación de K-medias, no es necesario seleccionar el número de agrupaciones, ya que el desplazamiento de media lo descubre automáticamente. Esa es una gran ventaja. El hecho de que los centros de los clústeres converjan hacia los puntos de densidad máxima también es bastante deseable, ya que es bastante intuitivo de comprender y encaja bien en un sentido naturalmente impulsado por los datos. El inconveniente es que la selección del tamaño (radio) de la ventana “r” puede no ser trivial.

## Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise - DBSCAN (Agrupación espacial basada en densidad de aplicaciones con ruido - DBSCAN)

DBSCAN es un algoritmo agrupado basado en densidad similar al mean-shift, pero con un par de ventajas notables. ¡Mira otro gráfico elegante a continuación y comencemos!

![](https://miro.medium.com/max/675/1\*tc8UF-h0nQqUfLC8-0uInQ.gif)

1.  DBSCAN comienza con un punto de datos inicial arbitrario que no se ha visitado. La vecindad de este punto se extrae usando una distancia ε (Todos los puntos que están dentro de la distancia  son puntos de vecindad).
2.  Si hay una cantidad suficiente de puntos (según minPoints \[*Minpoint es el número mínimo de puntos que consideramos para definir una región densa*]) dentro de esta vecindad, entonces comienza el proceso de agrupamiento y el punto de datos actual se convierte en el primer punto en el nuevo grupo. De lo contrario, el punto se etiquetará como ruido (más tarde, este punto ruidoso podría convertirse en parte del grupo). En ambos casos, ese punto se marca como "visitado".
3.  Para este primer punto en el nuevo grupo, los puntos dentro de su vecindad de distancia ε también pasan a formar parte del mismo grupo. Este procedimiento de hacer que todos los puntos de la vecindad  pertenezcan al mismo grupo se repite luego para todos los puntos nuevos que se acaban de agregar al grupo de grupos.
4.  Este proceso de los pasos 2 y 3 se repite hasta que se determinan todos los puntos en el grupo, es decir, todos los puntos dentro de la vecindad ε del grupo se han visitado y etiquetado.
5.  Una vez que terminamos con el clúster actual, se recupera y procesa un nuevo punto no visitado, lo que lleva al descubrimiento de otro clúster o ruido. Este proceso se repite hasta que todos los puntos se marcan como visitados. Dado que al final de esto se han visitado todos los puntos, cada punto se habrá marcado como perteneciente a un grupo o como ruido.

DBSCAN presenta grandes ventajas sobre otros algoritmos de agrupamiento. En primer lugar, no requiere un número predefinido de clusters en absoluto. También identifica valores atípicos como ruidos, a diferencia del desplazamiento medio, que simplemente los arroja a un grupo incluso si el punto de datos es muy diferente. Además, puede encontrar grupos de tamaño y forma arbitrarios bastante bien.

El principal inconveniente de DBSCAN es que no funciona tan bien como otros algoritmos cuando los clústeres son de densidad variable. Esto se debe a que la configuración del umbral de distancia  y minPoints para identificar los puntos vecinos variará de un grupo a otro cuando la densidad varíe. Este inconveniente también ocurre con datos de muy alta dimensión, ya que nuevamente el umbral de distancia  se vuelve difícil de estimar.

## Expectation–Maximization (EM) Clustering using Gaussian Mixture Models (GMM) (Agrupación de expectativas-maximización (EM) mediante modelos de mezcla Gaussiana (GMM))

Uno de los principales inconvenientes de K-Means es su uso ingenuo de la media para el centro del grupo. Podemos ver por qué esta no es la mejor manera de hacer las cosas al mirar la imagen a continuación. En el lado izquierdo, parece bastante obvio para el ojo humano que hay dos grupos circulares con diferentes radios centrados en la misma media. K-Means no puede manejar esto porque los valores medios de los grupos están muy próximos entre sí. K-Means también falla en los casos en que los grupos no son circulares, nuevamente como resultado de usar la media como centro del grupo.

![](https://miro.medium.com/max/357/1\*Xvl-pXxsLAZ7gbTUuvgMtA.png)

Los Gaussian Mixture Models (GMM) nos brindan más flexibilidad que K-Means. Con los GMM asumimos que los puntos de datos tienen una distribución Gaussiana; esta es una suposición menos restrictiva que decir que son circulares usando la media. De esa manera, tenemos dos parámetros para describir la forma de los conglomerados: ¡la media y la desviación estándar! Si tomamos una muestra de dos dimensionnes, esto implicaría que los grupos pueden tomar cualquier tipo de forma elíptica (ya que tenemos una desviación estándar en las direcciones x e y). Por lo tanto, cada distribución gaussiana se asigna a un solo grupo.

Para encontrar los parámetros de Gauss para cada grupo (por ejemplo, la media y la desviación estándar), usaremos un algoritmo de optimización llamado Expectation–Maximization (EM). Eche un vistazo al gráfico a continuación como una ilustración de los modelos Gaussianos que se ajustan a los grupos. Luego, podemos continuar con el proceso de agrupación en clústeres de Expectation–Maximization utilizando GMM.

![](https://miro.medium.com/max/360/1\*OyXgise21a23D5JCss8Tlg.gif)

1.  Comenzamos seleccionando el número de conglomerados (como hace en K-Means) e inicializando aleatoriamente los parámetros de distribución gaussiana para cada conglomerado. También se puede intentar proporcionar una buena estimación de los parámetros iniciales echando un vistazo rápido a los datos. Aunque tenga en cuenta, como se puede ver en el gráfico anterior, esto no es 100% necesario ya que los gaussianos comienzan como muy pobres pero se optimizan rápidamente.
2.  Dadas estas distribuciones gaussianas para cada grupo, calcule la probabilidad de que cada punto de datos pertenezca a un grupo en particular. Cuanto más cerca está un punto del centro Gaussiano, es más probable que pertenezca a ese grupo. Esto debería tener un sentido intuitivo, ya que con una distribución Gaussiana asumimos que la mayoría de los datos se encuentran más cerca del centro del grupo.
3.  Con base en estas probabilidades, calculamos un nuevo conjunto de parámetros para las distribuciones Gaussianas de manera que maximizamos las probabilidades de los puntos de datos dentro de los grupos. Calculamos estos nuevos parámetros usando una suma ponderada de las posiciones de los puntos de datos, donde los pesos son las probabilidades del punto de datos que pertenece a ese grupo en particular. Para explicar esto visualmente podemos echar un vistazo al gráfico de arriba, en particular el cluster amarillo. La distribución comienza aleatoriamente en la primera iteración, pero podemos ver que la mayoría de los puntos amarillos están a la derecha de esa distribución. Cuando calculamos una suma ponderada por las probabilidades, aunque hay algunos puntos cerca del centro, la mayoría de ellos están a la derecha. Por tanto, naturalmente, la media de la distribución se acerca más a ese conjunto de puntos. También podemos ver que la mayoría de los puntos están "de arriba a la derecha a abajo a la izquierda". Por lo tanto, la desviación estándar cambia para crear una elipse más ajustada a estos puntos, para maximizar la suma ponderada por las probabilidades.
4.  Los pasos 2 y 3 se repiten iterativamente hasta la convergencia, donde las distribuciones no cambian mucho de una iteración a otra.

Hay dos ventajas clave de utilizar GMM. En primer lugar, los MMG son mucho más flexibles en términos de covarianza de clústeres que las K-medias; Debido al parámetro de desviación estándar, los grupos pueden adoptar cualquier forma de elipse, en lugar de limitarse a círculos. K-Means es en realidad un caso especial de GMM en el que la covarianza de cada grupo a lo largo de todas las dimensiones se acerca a 0. En segundo lugar, dado que los GMM usan probabilidades, pueden tener múltiples grupos por punto de datos. Entonces, si un punto de datos está en el medio de dos grupos superpuestos, simplemente podemos definir su clase diciendo que pertenece el porcentaje X a la clase 1 y el porcentaje Y a la clase 2. Es decir, los GMM admiten membresía mixta.

## Agglomerative Hierarchical Clustering (Agrupación jerárquica aglomerativa)

Los algoritmos de agrupamiento jerárquico se dividen en 2 categorías: de arriba hacia abajo o de abajo hacia arriba. Los algoritmos ascendentes tratan cada punto de datos como un solo grupo desde el principio y luego fusionan (o aglomeran) sucesivamente pares de grupos hasta que todos los grupos se hayan fusionado en un solo grupo que contiene todos los puntos de datos. La agrupación jerárquica de abajo hacia arriba se denomina agrupación aglomerativa jerárquica o HAC (de sus siglas en inglés Hierarchical Agglomerative Clustering ). Esta jerarquía de grupos se representa como un árbol (o dendrograma). La raíz del árbol es el grupo único que reúne todas las muestras, siendo las hojas los grupos con una sola muestra. Consulte el gráfico a continuación para ver una ilustración antes de pasar a los pasos del algoritmo.

![](https://miro.medium.com/max/700/1\*ET8kCcPpr893vNZFs8j4xg.gif)

1.  Comenzamos tratando cada punto de datos como un solo grupo, es decir, si hay X puntos de datos en nuestro conjunto de datos, entonces tenemos X grupos. Luego, seleccionamos una métrica de distancia que mide la distancia entre dos grupos. Como ejemplo, usaremos el enlace promedio (average linkage) que define la distancia entre dos grupos como la distancia promedio entre los puntos de datos en el primer grupo y los puntos de datos en el segundo grupo.

2.  En cada iteración, combinamos dos grupos en uno. Los dos conglomerados que se van a combinar se seleccionan como aquellos con el menor vínculo promedio. Es decir, de acuerdo con nuestra métrica de distancia seleccionada, estos dos grupos tienen la distancia más pequeña entre sí y, por lo tanto, son los más similares y deben combinarse.

3.  El paso 2 se repite hasta que llegamos a la raíz del árbol, es decir, solo tenemos un grupo que contiene todos los puntos de datos. De esta manera, podemos seleccionar cuántos clústeres queremos al final, simplemente eligiendo cuándo dejar de combinar los clústeres, es decir, ¡cuándo dejamos de construir el árbol!

El agrupamiento jerárquico no requiere que especifiquemos el número de grupos e incluso podemos seleccionar qué número de grupos se ve mejor ya que estamos construyendo un árbol. Además, el algoritmo no es sensible a la elección de la métrica de distancia; todos tienden a funcionar igualmente bien, mientras que con otros algoritmos de agrupamiento, la elección de la métrica de distancia es fundamental. Un caso de uso particularmente bueno de los métodos de agrupamiento jerárquico es cuando los datos subyacentes tienen una estructura jerárquica y desea recuperar la jerarquía; otros algoritmos de agrupación en clústeres no pueden hacer esto. Estas ventajas de la agrupación jerárquica tienen el costo de una menor eficiencia, ya que tiene una complejidad de tiempo de *O(n³)*, a diferencia de la complejidad lineal de K-Means y GMM.

# Conclusiones

¡Estos son los 5 algoritmos de agrupación en clúster principales que un científico de datos debería conocer! Terminaremos con una visualización impresionante de lo bien que funcionan estos algoritmos y algunos otros, cortesía de Scikit Learn. ¡Es genial ver cómo los diferentes algoritmos se comparan y contrastan con diferentes datos!

![](https://miro.medium.com/max/700/1\*oNt9G9UpVhtyFLDBwEMf8Q.png)



Los 5 algoritmos de agrupación en clústeres que los científicos de datos deben conocer


<head>
<title>MathJax TeX Test Page</title>
<script src="https://polyfill.io/v3/polyfill.min.js?features=es6"></script>
<script type="text/javascript" id="MathJax-script" async
  src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-chtml.js">
</script>
</head>
<body>
Como parte de un proyecto personal he decidido probar varias leyes de control en un robot angular. En este primer artículo presentaré el modelado de un brazo robótico (omitiendo el actuador final) en configuración angular.

La configuración angular se compone de tres articulaciones rotatorias, tiene un volumen de trabajo con forma de esfera solamente limitado por el rango de cada articulación y la interferencia que pueda tener consigo mismo. Esta configuración suele ser la base de los robots articulados de 6 grados de libertad (Ver Figura 1).

![BrazoRRR](https://i.ibb.co/njS4Fdc/RRR.png)
<h5><center> Figura 1: Configuración articular, el eslabón 1 esta indicado en color verde, el 2 en color azúl y el 3 en rojo. </center></h5>

<h2> Parametros del robot </h2>
Seguiremos el convencionalismo  de Denavit Hartenberg que fue presentado por James Denavit y Richard S. Hartenberg en 1955 y nos permite hacer el mapeo de articulación en articulación de forma sistemática.

<h3> Definiendo ejes </h3>
<p>Comenzamos con los ejes $z$ de cada marco de referencia, el eje $x_0$ va alineado con el eje de rotación de la primera articulación, el eje $x_1$ va alineado con el eje de rotación de la segunda articulación y el eje $x_2$ va alineado con el eje de rotación de la tercera articulación. El sistema de coordenadas $3$ lo definiremos al final.</p>
<p>El eje $x_0$ lo podemos colocar donde queramos sobre el eje $z_0$, por conveniencia lo colocaremos en la intersección del eje $z_0$ y $z_1$ apuntando hacia la derecha. Como los ejes $z_0$ y $z_1$ se intersectan, colocaremos el eje $x_1$ en dicha intersección pero normal a los ejes $z_0$ y $z_1$. El eje $z_2$esta en dirección de una línea normal que une los ejes $z_1$ y $z_2$, tenemos una infinidad de estas líneas y por conveniencia escogeremos la única que también toca el eje $x_1$.</p>
<p>Hasta el momento hemos definido la dirección de los ejes $z_i$ y $x_i$, podemos determinar el origen $O_i$ de cada sistema como el punto donde se intersectan estos ejes, el sentido de estos ejes es a conveniencia y los ejes $y_i$ se agregan siguiendo el convencionalismo de la mano derecha (dedo índice corresponde al eje $x$, dedo medio al eje $y$ y el pulgar al eje $z$).</p>
<p>El sistema coordenado 3 lo podemos colocar a conveniencia, lo pondremos paralelo al sistema coordenado 2 pero con un desface en $x$ para corresponda con el origen de un actuador que se le pondrá en otra ocasión.</p>

![BrazoEjes](https://i.ibb.co/BgVYm2d/Esquema-RRR.png)
<h5><center> Figura 2: Sistemas coordenados de cada articulación. </center></h5>
<h3>Tabla de Denavit Hartenberg</h3>
<p>Para el eslabón 1 tenemos que la distancia desde la intersección del eje $x_1$ y $z_0$ hasta el origen $O_1$ a lo largo de $x_1$ es cero, por lo que $a_1=0$. El ángulo desde $z_0$ hasta $z_1$ medido sobre $x_1$ es $\pi/2$ o $90^\circ$ por lo que $\alpha_1=\pi/2$. La distancia desde $z_0$ hasta la intersección del eje $z_0$ con $x_1$ es $0$ por lo que $d_1=0$. Finalmente, el ángulo desde $x_0$hasta $x_1$ medido en el eje $z_0$ es $\theta_1$.</p>
<p>Para el eslabón 2 tenemos que la distancia desde la intersección del eje $x_2$ y $z_1$ hasta el origen $O_2$ a lo largo de $x_2$ es la longitud del eslabón y la nombraremos $a_2$. El eje $z_1$ y el eje $z_2$son paralelos. por lo que $\alpha_2=0$. La distancia desde $z_1$ hasta la intersección del eje $z_1$ con $x_2$ es $0 $ por lo que $d_2=0$. Finalmente, el ángulo desde $x_1$ hasta $x_2$ medido en el eje $z_1$ es $\theta_2$.</p>
<p>Para el eslabón 3 tenemos que la distancia desde la intersección del eje $x_3$ y $z_2$ hasta el origen $O_3$a lo largo de $x_3$ es la longitud del eslabón y la nombraremos $a_3$. El eje $z_2 $ y el eje $z_3$ son paralelos. por lo que $\alpha_3=0$. La distancia desde $z_2$ hasta la intersección del eje $z_2$ con $x_3$ es $0 $por lo que $d_3=0$. Finalmente, el ángulo desde $x_2$ hasta $x_3$ medido en el eje $z_2$ es $\theta_3$.</p>
<p>Con esto en mente, definimos la siguiente tabla con los parámetros de Denavit Hartenberg:</p>

<table>
  <tr>
    <th>Eslabón</th>
    <th>$a_i$</th>
    <th>$\alpha_i$</th>
    <th>$d_i$</th>
    <th>$\theta_i$</th>
  </tr>
  <tr>
    <td>1</td>
    <td>0</td>
    <td>$\pi/2$</td>
    <td>0</td>
    <td>$\theta_1 $</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2</td>
    <td>$a_2 $</td>
    <td>0</td>
    <td>0</td>
    <td>$\theta_2 $</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3</td>
    <td>$a_3 $</td>
    <td>0</td>
    <td>0</td>
    <td>$\theta_3 $</td>
  </tr>
</table>

<h3>Modelo cinemático directo</h3>
<p>Con los parámetros de Denavit Hartenberg identificados, tenemos las siguientes matrices de transformación homogénea:</p>
$$
A_1^0 =\left[ \begin{array}{cccc}
\cos\theta_1 & 0 &  \sin\theta_1 & 0\\
\sin\theta_1 & 0 & -\cos\theta_1 & 0\\
     0      & 1 &       0      & 0\\
     0      & 0 &       0      & 1
\end{array} \right]
$$
$$
A_2^0 =\left[ \begin{array}{cccc}
\cos\theta_2 & -\sin\theta_2 &  0 & a_2\cos\theta_2\\
\sin\theta_2 &  \cos\theta_2 &  0 & a_2\sin\theta_2\\
      0      &        0      &  1 &       0\\
      0      &        0      &  0 & 1
\end{array} \right]
$$
$$
A_3^0 =\left[ \begin{array}{cccc}
\cos\theta_3 & -\sin\theta_3 &  0 & a_3\cos\theta_3\\
\sin\theta_3 &  \cos\theta_3 &  0 & a_3\sin\theta_3\\
      0      &       0       &  1 &       0\\
      0      &       0       &  0 &       1
\end{array} \right]
$$
De aquí se sigue la matriz de transformación que va de 0 a 3 es:
$$
T_3^0=\left[\begin{array}{cccc} \cos\left(\theta _{2}+\theta _{3}\right)\,\cos\left(\theta _{1}\right) & -\sin\left(\theta _{2}+\theta _{3}\right)\,\cos\left(\theta _{1}\right) & \sin\left(\theta _{1}\right) & \cos\left(\theta _{1}\right)\,\left(a_{3}\,\cos\left(\theta _{2}+\theta _{3}\right)+a_{2}\,\cos\left(\theta _{2}\right)\right)\\ \cos\left(\theta _{2}+\theta _{3}\right)\,\sin\left(\theta _{1}\right) & -\sin\left(\theta _{2}+\theta _{3}\right)\,\sin\left(\theta _{1}\right) & -\cos\left(\theta _{1}\right) & \sin\left(\theta _{1}\right)\,\left(a_{3}\,\cos\left(\theta _{2}+\theta _{3}\right)+a_{2}\,\cos\left(\theta _{2}\right)\right)\\ \sin\left(\theta _{2}+\theta _{3}\right) & \cos\left(\theta _{2}+\theta _{3}\right) & 0 & a_{3}\,\sin\left(\theta _{2}+\theta _{3}\right)+a_{2}\,\sin\left(\theta _{2}\right)\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
$$
Esta matriz representa el modelo cinemático directo de nuestro robot, para entenderla mejor, representamos a $T_3^0 $ de la siguiente forma:
$$
T_3^0 =\left[ \begin{array}{cccc}
      n      &       s       &  a &       d\\
      0      &       0       &  0 &       1
\end{array} \right]
$$
donde $n = [n_x,n_y,n_z]^T$, $s = [s_x,s_y,s_z]^T$, $a = [a_x,a_y,a_z]^T$ y $d = [d_x,d_y,d_z]^T$.
La posición del origen del tercer marco de referencia $O_3$ para los ángulos $\theta_1,\theta_2,\theta_3$ nos las da el vector $d$, las componentes del eje $x_3$ en los ejes de $O_0$ nos las da el vector $n$, las componentes del eje $y_3$ en los ejes de $O_0$ nos las da el vector $s$ y las componentes del eje $z_3$ en los ejes de $O_0$ nos las da el vector $a$.

</body>

Ejemplo de modelado de un robot


<head>
<title>Closures y matrices de transformación</title>
<script src="https://polyfill.io/v3/polyfill.min.js?features=es6"></script>
<script type="text/javascript" id="MathJax-script" async
  src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-chtml.js">
</script>
</head>
<body>

<p>Una matriz de transformación la podemos visualizar como como una función lleva los valores escalares de las articulaciones (ya sean ángulos o desplazamientos) a cuatro vectores. Los primeros tres corresponden a las componentes de los ejes $x_i$, $y_i$ y $z_i$ en los ejes $x_j$, $y_j$ y $z_j$ y el cuarto a las coordenadas del origen $O_i$ en el sitema $j$.</p>

<p><b>Nota:</b> los prefijos $i$ y $j$ significa que son sistemas de coordenadas diferentes.</p>

<p>Si seguimos la metodología de Denavit Hartenberg entonces podemos generar nuestra matriz de transformación tomando como entrada los valores $[a_i$, $\alpha_i$, $d_i$, $\theta_i]$ del eslabón $i$ y podemos determinar los cuatro vectores que describimos anteriormente de forma independiente para facilitar la lectura del código y al final concatenarlos en una matriz.</p>

<p><b>Nota:</b> es importante asegurarse que se retorne una matriz y no un array para que la multiplicación sea multiplicación de matrices y no elemento a elemento. Esto también permite usar otras fuciones de numpy que requieren matrices como argumentos de entrada.</p>

<p>Usare un Closure, que es como una función que devuelve otra función, como matriz de transformación. Si bien no la podremos visualizar con variables simbolicas, la podemos visualizar para cada conjunto de valores de las articulaciones que le suministremos.</p>

<h3>La función queda así:</h3>

<p><b>Nota:</b> me hubiera gustado usar tipado estático pero no encontre un módulo de Python que me permitiera usarlo con variables de tipo matriz.</p>

<iframe title="Embedded cell output" src="https://embed.deepnote.com/5f5f6565-4d6c-4d28-8c45-3653a1d6be8e/1baf8374-1197-495a-98cc-c04d1455d077/b7b6f01d17094ac9a61920277273b1da?height=1181" height="1181" width=100%></iframe>

<h3>Ejemplo</h3>

<p>Supondremos que los eslabones $2$ y $3$ del robot tienen una longitud entre ajes $z$ de $30$ $cm$  dandonos los suguientes parametros de Denavit Hartenberg</p>

<iframe title="Embedded cell output" src="https://embed.deepnote.com/5f5f6565-4d6c-4d28-8c45-3653a1d6be8e/1baf8374-1197-495a-98cc-c04d1455d077/4a531be714fd4487b1f54ec445160044?height=170" height="170" width=100%></iframe>

<p>Con estas listas creamos las matrices de transformación, que para nosotros seran funciones que al recibir un angulo nos dara la orientación y posición de un eslabón en relación al eslabón anterior.</p>

<iframe title="Embedded cell output" src="https://embed.deepnote.com/5f5f6565-4d6c-4d28-8c45-3653a1d6be8e/1baf8374-1197-495a-98cc-c04d1455d077/5a9c6442bba64345bf06bdfee7f7c0f0?height=134" height="134" width=100%></iframe>

<p>Por ejemplo, el primer eslabón no puede modificar desplazamiento en ningún eje, pero si su orientación en relación al sistema de referencia $0$. Por ejmeplo, para $\theta=0$, los ejes $x$ siguen alineados, el eje $y_1$ es paralelo al eje $z_0$ y el eje $z_1$ es paralelo y contrario a $y_0$.</p>

<iframe title="Embedded cell output" src="https://embed.deepnote.com/5f5f6565-4d6c-4d28-8c45-3653a1d6be8e/1baf8374-1197-495a-98cc-c04d1455d077/dbd6707bf21a4dfbaa12ad92bbd07199?height=263.9375" height="263.9375" width=100%></iframe>

<p>Para obtener las coordenadas del marco coordemado $O_3$ multiplicamos las tres matrices, por ejemplo, si todos los ángulos son $0^\circ$ entonces el origen $O_3$ esta a $60 cm$ sobre el eje x, y su orientación sería la misma que en el ejemplo anterior.</p>

<iframe title="Embedded cell output" src="https://embed.deepnote.com/5f5f6565-4d6c-4d28-8c45-3653a1d6be8e/1baf8374-1197-495a-98cc-c04d1455d077/6ad488ed696e428d9204a4ad8562a927?height=746.75" height="746.75" width=100%></iframe>

<p>Nos enfocaremos en la posición, es decir, el vector $d$ de las matrices de transformación.</p>

<iframe title="Embedded cell output" src="https://embed.deepnote.com/5f5f6565-4d6c-4d28-8c45-3653a1d6be8e/1baf8374-1197-495a-98cc-c04d1455d077/685cb0b721544e169f01ef1658e6cbc9?height=314" height="314" width=100%></iframe>

<iframe title="Embedded cell output" src="https://embed.deepnote.com/5f5f6565-4d6c-4d28-8c45-3653a1d6be8e/1baf8374-1197-495a-98cc-c04d1455d077/2dff4d0a9d9640909b4b022f659cc387?height=658.1875" height="658.1875" width=100%></iframe>

</body>

Matriz de transformación en Python


<head>
<title>Robot Cartesiano</title>
<script src="https://polyfill.io/v3/polyfill.min.js?features=es6"></script>
<script type="text/javascript" id="MathJax-script" async
  src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-chtml.js">
</script>
</head>
<body>

<p>El robot cartesiano consta de tres articulaciones prismáticas alineadas a cada eje del plano cartesiano.</p>

![RobotPPP](https://i.ibb.co/ZJ2xzGk/PPP.png)
<h5><center> Figura 1: Configuración cartesiana, el eslabón 1 esta indicado en color rojo, el 2 en color verde y el 3 en azúl. </center></h5>

<h3> Parametros del robot </h3>
<p>Seguiremos el convencionalismo  de Denavit Hartenberg que fue presentado por James Denavit y Richard S. Hartenberg en 1955 y nos permite hacer el mapeo de articulación en articulación de forma sistemática.</p>

<h4> Definiendo ejes </h4>
<p>Comenzamos con los ejes $z$ de cada marco de referencia, el eje $x_0$ va alineado con el eje de desplazamiento de la primera articulación, el eje $x_1$ va alineado con el eje de desplazamiento de la segunda articulación y el eje $x_2$ va alineado con el eje de desplazamiento de la tercera articulación. El sistema de coordenadas $3$ lo definiremos al final.</p>

<p>El eje $x_0$ lo podemos colocar donde queramos sobre el eje $z_0 $, lo pondremos n un costado. Como los ejes $z_0$ y $z_1$ se intersectan, colocaremos el eje $x_1$ en dicha intersección. Como $z_1$ y $z_2$ se intersectan, colocaremos el eje $x_2$ en dicha intersección.</p>

<p>Hasta el momento hemos definido la dirección de los ejes $z_i$ y $x_i$, podemos determinar el origen $O_i$ de cada sistema como el punto donde se intersectan estos ejes, el sentido de estos ejes es a conveniencia y los ejes $y_i$ se agregan siguiendo el convencionalismo de la mano derecha (dedo índice corresponde al eje $x$ , dedo medio al eje $y$ y el pulgar al eje $z$ ).</p>

<p>El sistema coordenado $3$ lo podemos colocar a conveniencia, lo pondremos en la cara frontal del ultimo eslabón.</p>

![BrazoEjes](https://i.ibb.co/chwVXbR/Esquema-PPP.png)
<h5><center> Figura 2: Sistemas coordenados de cada articulación. </center></h5>

<h3>Tabla de Denavit Hartenberg</h3>
<p>Para el eslabón 1 tenemos que la distancia desde la intersección del eje $x_1$ y $z_0$ hasta el origen $O_1$ a lo largo de $x_1$ es cero, por lo que $a_1=0$. El ángulo desde $z_0$ hasta $z_1$ medido sobre $x_1$ es $-\pi/2$ o $-90^\circ$ por lo que $\alpha_1=-\pi/2$. Como es una articulación prismática, $d_1$ es variable. Finalmente, el ángulo desde $x_0$ hasta $x_1$ medido en el eje $z_0$ es $0$ por lo tanto $\theta_2=0$.</p>

<p>Para el eslabón 2 tenemos que la distancia desde la intersección del eje $x_2$ y $z_1$ hasta el origen $O_2$ a lo largo de $x_2$ es $0$. El ángulo desde $z_1$ hasta $z_2$ medido sobre $x_2$ es $\pi/2$ o $90^\circ$ por lo que $\alpha_1=\pi/2$. Como es una articulación prismática, $d_2$ es variable. Finalmente, el ángulo desde $x_1$ hasta $x_2$ medido en el eje $z_1$ es $\pi/2$ o $90^\circ$ por lo tanto $\theta_2=\pi/2$.</p>

<p>Para el eslabón 3 tenemos que la distancia desde la intersección del eje $x_3$ y $z_2$ hasta el origen $O_3$ a lo largo de $x_3$ es cero. El ángulo desde $z_2$ hasta $z_3$ es cero. Como es una articulación prismática, $d_1$ es variable. Finalmente, el ángulo desde $x_2$ hasta $x_3$ medido en el eje $z_2$ es cero.</p>

<p>Con esto en mente, definimos la siguiente tabla con los parámetros de Denavit Hartenberg:</p>

<table>
  <tr>
    <th>Eslabón</th>
    <th>$a_i$</th>
    <th>$\alpha_i$</th>
    <th>$d_i$</th>
    <th>$\theta_i$</th>
  </tr>
  <tr>
    <td>1</td>
    <td>0</td>
    <td>$-\pi/2$</td>
    <td>$d_1$</td>
    <td>0</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2</td>
    <td>0</td>
    <td>$\pi/2$</td>
    <td>$d_2$</td>
    <td>$\pi/2$</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3</td>
    <td>0</td>
    <td>0</td>
    <td>$d_3$</td>
    <td>0</td>
  </tr>
</table>

<h3> Modelo cinemático directo </h3>

<p>Con los parámetros de Denavit Hartenberg identificados, tenemos las siguientes matrices de transformación homogénea:</p>
$$
A_1^0 =\left[ \begin{array}{cccc}
     1 &  0 & 0 & 0\\
     0 &  0 & 1 & 0\\
     0 &  1 & 0 & d_1\\
     0 &  0 & 0 & 1
\end{array} \right]
$$
$$
A_2^1 =\left[ \begin{array}{cccc}
     0 &  0 & 1 & 0\\
     1 &  0 & 0 & 0\\
     0 & -1 & 0 & d_2\\
     0 &  0 & 0 & 1
\end{array} \right]
$$
$$
A_3^2 =\left[ \begin{array}{cccc}
     1 &  0 & 0 & 0\\
     0 &  1 & 0 & 0\\
     0 &  0 & 1 & d_3\\
     0 &  0 & 0 & 1
\end{array} \right]
$$

<p>De aquí se sigue la matriz de transformación que va de 0 a 3 es:</p>

$$
T_3^0=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & d_{3}\\ 0 & -1 & 0 & d_{2}\\ 1 & 0 & 0 & d_{1}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
$$

<p>Esta matriz representa el modelo cinemático directo de nuestro robot, para entenderla mejor, representamos a $T_3^0$ de la siguiente forma:</p>

$$
T_3^0 =\left[ \begin{array}{cccc}
      n      &       s       &  a &       d\\
      0      &       0       &  0 &       1
\end{array} \right]
$$

<p>donde $n = [n_x,n_y,n_z]^T$, $s = [s_x,s_y,s_z]^T$, $a = [a_x,a_y,a_z]^T$ y $d = [d_x,d_y,d_z]^T$.</p>

<p>La posición del origen del tercer marco de referencia ($O_3$) para los ángulos $(\theta_1,\theta_2,\theta_3)$ nos las da el vector $d$, las componentes del eje $x_3$ en los ejes de $O_0$ nos las da el vector $n$, las componentes del eje $y_3$ en los ejes de $O_0$ nos las da el vector $s$ y las componentes del eje $z_3$ en los ejes de $O_0$ nos las da el vector $a$.</p>

<h3>Modelo cinemático inverso</h3>

<p>Para esta configuración podemos obtener el modelo cinemático inverso directamente del vector $d$ de la matriz de transformación, de aquí podemos deducir:</p>

$$
\begin{array}{ccc}
     x &  = & d_3\\
     y &  = & d_2\\
     z &  = & d_1
\end{array}
$$

<h3>Coordenadas generalizadas</h3>

<p>En este caso en particular los desplazamientos en los ejes del plano carteciano se relacionan directamente con los desplazamientos de las articulaciones y el control se hace sobre las articulaciones por lo que tenemos las siguientes coordenadas generalizadas:</p>

$$
\begin{array}{ccccc}
    q_3 & = & x &  = & d_3\\
    q_2 & = & y &  = & d_2\\
    q_1 & = & z &  = & d_1
\end{array}
$$

<p>Con estas coordenadas podemos realizar el control del robot.</p>

<h3>Modelo dinámico (por Euler Lagrange)</h3>

<p>El planteamiento de Euler Lagrande nos dice que:</p>

$$
\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{q}}-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}=f
$$

<p>donde el Lagrangiano $\mathcal{L}$ es la diferencia de la energía dinámica $\mathcal{K}$ y la potencial $\mathcal{P}$, esto es:</p>

$$
\mathcal{L} = \mathcal{K}-\mathcal{P}
$$ 

<h4>Energía dinámica</h4>

<p>La energía dinámica de cada eslabón esta dada por $1/2 mv^2$ donde $m$ es la masa del eslabón, $v$ la velocidad lineal o $\dot{q}$ del eslabón, de aquí se sigue:</p>

$$
\mathcal{K} = \frac{1}{2}m_1\dot{q}_1^2 + \frac{1}{2}m_2\dot{q}_2^2 + \frac{1}{2}m_3\dot{q}_3^2
$$

<h4>Energía potencial</h4>

<p>La energía potencial de cada eslabón esta dada por $mgh$, donde $m$ es la masa del elabón, $g$  es la gravedad y $h$ la altura del centro de masa del eslabón al plano perpendicular al suelo de nuestro sistema de referencia cero (en nuestro caso es el plano $x_0z_0$), de aquí se sigue:</p>

$$
\mathcal{P} = 0 + m_2g(\beta_2+q_2) + m_3g(\beta_3+q_2)
$$

<p>donde $\beta_2$ y $\beta_3$ son constantes y representan un desface entre el centro de gravedad de los eslabones 2 y 3 y el origen del centro de sus respectivos sistemaa de coordenadas.</p>

<p><b>Nota:</b> La anergía potencial del primer eslabón es cero ya que su centro de masa esta sobre el plano $x_0z_0$.</p>

<h4>Lagrangiano</h4>
<p>El Lagrangiano de nuestro sistema es:</p>

$$
\mathcal{L} = \frac{1}{2}m_1\dot{q}_1^2 + \frac{1}{2}m_2\dot{q}_2^2 + \frac{1}{2}m_3\dot{q}_3^2 - m_2g(\beta_2+q_2) - m_3g(\beta_3+q_2)
$$

<h3>Construyendo el modelo</h3>

<p>Primero calculamos $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{q}}$, solo dejaremos los terminos que dependen de $\dot{q}$ ya que los demas se volveran cero al derivar.</p>
$$
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{q}}=\begin{array}{c}
    \frac{\partial(\frac{1}{2}m_1\dot{q}_1^2 + \frac{1}{2}m_2\dot{q}_2^2 + \frac{1}{2}m_3\dot{q}_3^2)}{\partial \dot{q}_1} \\
    \frac{\partial(\frac{1}{2}m_1\dot{q}_1^2 + \frac{1}{2}m_2\dot{q}_2^2 + \frac{1}{2}m_3\dot{q}_3^2)}{\partial \dot{q}_2} \\
    \frac{\partial(\frac{1}{2}m_1\dot{q}_1^2 + \frac{1}{2}m_2\dot{q}_2^2 + \frac{1}{2}m_3\dot{q}_3^2)}{\partial \dot{q}_3}
\end{array} =\begin{array}{c}
    m_1 \dot{q}_1 \\
    m_2 \dot{q}_2 \\
    m_3 \dot{q}_3
\end{array}
$$

<p>De aquí calculamos directamente: $\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{q}}$:</p>

$$
\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{q}} =\begin{array}{c}
    m_1 \ddot{q}_1 \\
    m_2 \ddot{q}_2 \\
    m_3 \ddot{q}_3
\end{array}
$$

<p>Para calcular $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}$ solo usaremos los terminos de Lagrangiano que tengan $q$ ya que los  demas se volveran cero al momento de derivar.</p>

$$
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}=\begin{array}{c}
    \frac{- m_2g(\beta_2+q_2) - m_3g(\beta_3+q_2)}{\partial q_1} \\
    \frac{- m_2g(\beta_2+q_2) - m_3g(\beta_3+q_2)}{\partial q_2} \\
    \frac{- m_2g(\beta_2+q_2) - m_3g(\beta_3+q_2)}{\partial q_3}
\end{array} =\begin{array}{c}
    0 \\
    -(m_2+m_3)g \\
    0
\end{array}
$$

<p>Por lo que nuestro modelo queda:</p>
$$
\begin{array}{c}
    m_1 \ddot{q}_1 \\
    m_2 \ddot{q}_2 \\
    m_3 \ddot{q}_3
\end{array} + \begin{array}{c}
    0 \\
    (m_2+m_3)g \\
    0
\end{array} = \begin{array}{c}
    f_1 \\
    f_2 \\
    f_3
\end{array}
$$

<p>Si consideramos que los eslabones se controlan mediante las fuerzas $f_1$, $f_2$, y $f_3$, entonces el termino $(m_2+m_3)g$ se puede considerar como una perturbación en la entrada.</p>

</body>

Modelado de Robot Cartesiano

## Social Media:

### [LinkedIn](https://www.linkedin.com/in/arnosonck/)

### [Twitter](https://twitter.com/ArnoSonck)

### [GitHub](https://github.com/ArnoSonck)


Contact

Goal-oriented data scientist with deep knowledge in mechanical design. Outgoing, curious, and creative, and a good team player. Has a Ph.D. in Automatic Control.

Hi, I am Arno.

What's New

It is just the "Learn More" button 😁

Click bait

Home

This is a paragraph. Malesuada bibendum arcu vitae elementum curabitur vitae nunc sed. Fringilla urna porttitor rhoncus dolor purus. Consectetur purus ut faucibus pulvinar. Nullam non nisi est sit. Tellus in metus vulputate eu scelerisque felis. Nunc congue nisi vitae suscipit tellus mauris. Phasellus egestas tellus rutrum tellus pellentesque eu tincidunt. Fermentum iaculis eu non diam phasellus vestibulum. Faucibus turpis in eu mi bibendum neque egestas congue.

# This is an H1

## This is an H2

### This is an H3

#### This is an H4

##### This is an H5

###### This is an H6

## Quoting

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Donec pretium vulputate sapien nec sagittis aliquam. Turpis massa sed elementum tempus egestas sed sed. Orci a scelerisque purus semper eget duis at tellus at. Lacus luctus accumsan tortor posuere ac.

> Ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit ut aliquam purus. Ultrices sagittis orci a scelerisque purus semper eget duis. Pharetra pharetra massa massa ultricies. Felis eget nunc lobortis mattis aliquam.

In cursus turpis massa tincidunt. Tempor nec feugiat nisl pretium. Odio aenean sed adipiscing diam. Ut aliquam purus sit amet luctus venenatis lectus magna fringilla. Justo laoreet sit amet cursus sit amet dictum. Turpis tincidunt id aliquet risus feugiat in ante metus.

## Unordered and Ordered Lists

*   Donec non tortor in arcu mollis feugiat
*   Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit
*   Donec id eros eget quam aliquam gravida
*   Vivamus convallis urna id felis
*   Nulla porta tempus sapien

***

1.  Donec non tortor in arcu mollis feugiat
2.  Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit
3.  Donec id eros eget quam aliquam gravida
4.  Vivamus convallis urna id felis
5.  Nulla porta tempus sapien

## Code Blocks

Blocks of code are either fenced by lines with three back-ticks, or are indented with four spaces.

    let sequence = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13];
    for (let i = 0; i < sequence.length; i++) {
      console.log(sequence[i]);
    }

## Inline Elements

Emphasis, aka italics, with *asterisks* or *underscores*.

This is [an example](http://example.com) link.

Strong emphasis, aka bold, with **asterisks** or **underscores**.

Combined emphasis with **asterisks and *underscores***.

Strikethrough uses two tildes. ~~Scratch this.~~

Inline `code` with `back-ticks around` it.

## Tables

<div class="responsive-table">
  <table>
      <caption>Table with thead, tfoot, and tbody</caption>
    <thead>
      <tr>
        <th>Header content 1</th>
        <th>Header content 2</th>
      </tr>
    </thead>
    <tbody>
      <tr>
        <td>Body content 1</td>
        <td>Body content 2</td>
      </tr>
    </tbody>
    <tfoot>
      <tr>
        <td>Footer content 1</td>
        <td>Footer content 2</td>
      </tr>
    </tfoot>
  </table>
</div>

# &#xA;&#xA;&#xA;&#xA;&#xA;&#xA;&#xA;


Style Guide


Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Donec pretium vulputate sapien nec sagittis aliquam. Turpis massa sed elementum tempus egestas sed sed. Orci a scelerisque purus semper eget duis at tellus at. Lacus luctus accumsan tortor posuere ac. Ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit ut aliquam purus. Ultrices sagittis orci a scelerisque purus semper eget duis. Pharetra pharetra massa massa ultricies. Felis eget nunc lobortis mattis aliquam. In cursus turpis massa tincidunt. Tempor nec feugiat nisl pretium. Odio aenean sed adipiscing diam. Ut aliquam purus sit amet luctus venenatis lectus magna fringilla. Justo laoreet sit amet cursus sit amet dictum. Turpis tincidunt id aliquet risus feugiat in ante metus.

Malesuada bibendum arcu vitae elementum curabitur vitae nunc sed. Fringilla urna porttitor rhoncus dolor purus. Consectetur purus ut faucibus pulvinar. Nullam non nisi est sit. Tellus in metus vulputate eu scelerisque felis. Nunc congue nisi vitae suscipit tellus mauris. Phasellus egestas tellus rutrum tellus pellentesque eu tincidunt. Fermentum iaculis eu non diam phasellus vestibulum. Faucibus turpis in eu mi bibendum neque egestas congue. Eget arcu dictum varius duis at consectetur lorem. Pellentesque pulvinar pellentesque habitant morbi tristique. Sagittis nisl rhoncus mattis rhoncus urna neque. In eu mi bibendum neque egestas congue. Et malesuada fames ac turpis egestas.

Consequat id porta nibh venenatis cras sed felis eget velit. Nunc vel risus commodo viverra maecenas accumsan. Congue quisque egestas diam in. Ultricies mi quis hendrerit dolor magna eget est. Duis at tellus at urna. Etiam tempor orci eu lobortis elementum nibh tellus molestie nunc. Et egestas quis ipsum suspendisse ultrices gravida dictum. Ipsum suspendisse ultrices gravida dictum fusce ut placerat orci nulla. Mauris nunc congue nisi vitae. Venenatis tellus in metus vulputate eu scelerisque felis. Ultrices in iaculis nunc sed augue lacus. Eu lobortis elementum nibh tellus molestie nunc. Faucibus nisl tincidunt eget nullam non nisi est.

Sagittis vitae et leo duis. Et magnis dis parturient montes nascetur ridiculus mus. Dui vivamus arcu felis bibendum ut. Et netus et malesuada fames ac. Mollis aliquam ut porttitor leo a diam sollicitudin. Elit at imperdiet dui accumsan sit. Justo eget magna fermentum iaculis. Turpis tincidunt id aliquet risus feugiat. Dictumst vestibulum rhoncus est pellentesque elit. Dolor magna eget est lorem ipsum dolor. Posuere lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit. Metus vulputate eu scelerisque felis imperdiet proin. Congue nisi vitae suscipit tellus mauris. Sed blandit libero volutpat sed cras ornare arcu dui vivamus. Scelerisque purus semper eget duis at tellus at urna condimentum. Elit ut aliquam purus sit amet luctus venenatis lectus magna. Ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit ut aliquam.

Neque sodales ut etiam sit amet. Magna ac placerat vestibulum lectus mauris ultrices. Turpis massa tincidunt dui ut ornare lectus sit amet est. Sed vulputate mi sit amet mauris commodo quis. Vestibulum rhoncus est pellentesque elit ullamcorper dignissim cras. Eget nullam non nisi est sit amet facilisis. Sem viverra aliquet eget sit amet tellus cras. Massa eget egestas purus viverra accumsan in nisl nisi scelerisque. Gravida arcu ac tortor dignissim convallis aenean. Turpis egestas sed tempus urna et pharetra pharetra massa massa. Egestas dui id ornare arcu odio ut sem. Pretium viverra suspendisse potenti nullam ac tortor vitae purus faucibus. Nibh sit amet commodo nulla. Feugiat scelerisque varius morbi enim nunc. Blandit turpis cursus in hac habitasse platea dictumst quisque sagittis. Fames ac turpis egestas maecenas pharetra convallis posuere morbi. Eu mi bibendum neque egestas. At lectus urna duis convallis. Gravida quis blandit turpis cursus.
